©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林
细想上述过程，可以发现不管是 “DDPM→DDIM” 还是 “SDE→ODE”，都是从随机采样模型过渡到确定性模型，而如果我们一开始的目标就是 ODE，那么该过程未免显得有点“迂回”了。在本文中，笔者尝试给出 ODE 扩散模型的直接推导，并揭示了它与雅可比行列式、热传导方程等内容的联系。
微分方程
像 GAN 这样的生成模型，它本质上是希望找到一个确定性变换，能将从简单分布（如标准正态分布）采样出来的随机变量，变换为特定数据分布的样本。flow 模型也是生成模型之一，它的思路是反过来，先找到一个能将数据分布变换简单分布的可逆变换，再求解相应的逆变换来得到一个生成模型。传统的 flow 模型是通过设计精巧的耦合层（参考“细水长flow”系列）来实现这个可逆变换，但后来大家就意识到，其实通过微分方程也能实现这个变换，并且理论上还很优雅。基于“神经网络 + 微分方程”做生成模型等一系列研究，构成了被称为“神经ODE”的一个子领域。假设 ，那么给定 ，（在比较容易实现的条件下）我们可以确定地求解出 ，也就是说该微分方程描述了从 到 的一个变换。特别地，该变换还是可逆的，即可以逆向求解该微分方程，得到从 到 的变换。所以说，微分方程本身就是构建可逆变换的一个理论优雅的方案。跟之前的扩散模型一样，在这篇文章中，我们将 视为一个数据样本，而将 视为简单分布的样本，我们希望通过微分方程，来实现从数据分布到简单分布的变换。
这里的 表示变换的雅可比矩阵， 代表行列式的绝对值。直接对式 (2) 两边求偏导，我们就得到
泰勒近似
假设 是一簇随着参数t连续变化的分布的概率密度函数，其中 是数据分布， 则是简单分布，当 和 都较小时，我们有一阶泰勒近似代入式（2）的 ，然后对照式（6），可以得到 所满足的方程换句话说，满足该方程的任意 ，都可以用来构造一个微分方程（1），通过求解它来实现数据分布和简单分布之间的变换。我们也可以将它整理得
其中 可以是一个矩阵，也可能是一个标量，视具体考虑的复杂度而定。为什么要考虑这种形式的解？说实话，笔者一开始就是往 DDIM 格式去凑的，后来就是发现一般化后能跟下面的扩散方程联系起来，所以就直接设为式（10）了。事后来看，如果假设 是非负标量函数，那么将它代入式（2）后，就会发现其格式跟梯度下降有点相似，即从 到 是逐渐寻找低概率区域，反之从 到 就是逐渐寻找高概率区域，跟直觉相符，这也算是式（10）的一个启发式引导吧。这就是偏微分方程中的“扩散方程”[2]。这里我们只考虑一个极简单的情形—— 是跟 无关的标量函数 ，此时扩散方程简化为这就是“热传导方程”[3]，是我们接下来要重点求解和分析的对象。利用傅立叶变换，可以将热传导方程转为常微分方程，继而完成分布 的求解，结果是：其中 ，或者 （其中 ）。可以看到，热传导方程的解正好是以 为初始分布的高斯混合模型。过程：这里简单介绍一下热传导方程的求解思路。对于不关心求解过程的读者，或者已经熟悉热传导方程的读者，可以跳过这部分内容。
用傅立叶变换求热传导方程（12）其实很简单，对两边的 变量做傅立叶变换，根据 的原则，结果是
其中 ，而 则是 的傅立叶变换。现在对两边做傅立叶逆变换， 自然变回 ， 变回 ， 则对应正态分布 ，最后利用傅立叶变换的卷积性质，就得到解 (13)。现在我们汇总一下我们的结果：通过求解热传导方程，我们确定了给出了从 到 的一个确定性变换。如果 易于采样，并且 已知，那么我们就可以随机采样 ，然后逆向求解该微分方程，来生成 的样本。第一个问题，什么时候 是易于采样的？根据结果（16），我们知道当 足够大时， 对 的影响就很微弱了，此时可以认为这就实现了 易于采样的目的。因此，选择 的一般要求是：满足 和 的光滑单调递增函数。这叫做“条件得分匹配”，其推导我们在 SDE 篇已经给出了，这里就不重复了。
在这篇文章中，我们对 ODE 式扩散模型做了一个“自上而下”的推导：首先从 ODE 出发，结合雅可比行列式得到了概率变化的一阶近似，然后对比直接泰勒展开的一阶近似，得到了 ODE 应该要满足的方程，继而转化为扩散方程、热传导方程来求解。相对来说，整个过程比较一步到位，不需要通过 SDE、FP 方程等结果来做过渡。
[1] https://kexue.fm/archives/2383
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_equation
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
#投 稿 通 道#
让你的文字被更多人看到
如何才能让更多的优质内容以更短路径到达读者群体，缩短读者寻找优质内容的成本呢？答案就是：你不认识的人。
总有一些你不认识的人，知道你想知道的东西。PaperWeekly 或许可以成为一座桥梁，促使不同背景、不同方向的学者和学术灵感相互碰撞，迸发出更多的可能性。
PaperWeekly 鼓励高校实验室或个人，在我们的平台上分享各类优质内容，可以是最新论文解读，也可以是学术热点剖析、科研心得或竞赛经验讲解等。我们的目的只有一个，让知识真正流动起来。
📝 稿件基本要求：
• 文章确系个人原创作品，未曾在公开渠道发表，如为其他平台已发表或待发表的文章，请明确标注
• 稿件建议以 markdown 格式撰写，文中配图以附件形式发送，要求图片清晰，无版权问题
• PaperWeekly 尊重原作者署名权，并将为每篇被采纳的原创首发稿件，提供业内具有竞争力稿酬，具体依据文章阅读量和文章质量阶梯制结算
📬 投稿通道：
• 投稿邮箱：hr@paperweekly.site
• 来稿请备注即时联系方式（微信），以便我们在稿件选用的第一时间联系作者
• 您也可以直接添加小编微信（pwbot02）快速投稿，备注：姓名-投稿
△长按添加PaperWeekly小编
🔍
现在，在「知乎」也能找到我们了
进入知乎首页搜索「PaperWeekly」
点击「关注」订阅我们的专栏吧